定積分不僅可以求面積，也可以求體積，介紹如下。

操作步驟：

1. 按一下 按鈕(1/10)，觀察空間中位於兩平行平面 $x=a$ 與 $x=b(a \lt b)$ 之間的立體$S$。
2. 按一下 按鈕(2/10)，設通過點 $(x,0,0)$ 且垂直 $x$ 軸的平面與 $S$ 所截出截面的面積為 $A(x)$ ，且 $A(x)$ 為連續函數，同學可以操作 $x$ 值滑桿 觀察截面的變化。
3. 按一下 按鈕(3/10)，將區間 $[a,b]$ 平分成 $n$ 等分，分割點為 $a=x_0\lt x_1\lt x_2\lt\cdots\lt x_n=b$ ，假設相鄰兩分割點的距離為$\Delta x$，同學可以操作 $i$ 值滑桿 觀察不同的等分線段。

思考並回答下列問題：

1. 兩分割點的距離 $\Delta x$ 與 $a$、$b$ 及 $n$ 似乎存在關聯，你能選出正確的關係式嗎？
   $\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$ $\Delta x=\dfrac{n}{b-a}$

操作步驟：

1. 按一下 按鈕(4/10)，分別過這些等分點作垂直 $x$ 軸的平面，並留下其截面形狀，同學可以操作 $x$ 值滑桿 ，觀察每個截面的形狀及面積。

思考並回答下列問題：

1. 過等分點 $x_5$ 作垂直 $x$ 軸的平面，其與立體 $S$ 所截的截面面積可表達為？
   $f(x_4)$ $f(x_5)$ $f(x_6)$

操作步驟：

1. 按一下 按鈕(5/10)，這些垂直 $x$ 軸的平面會將立體 $S$ 分割成 $n$ 個厚度均為 $\Delta x$ 的薄片，同學可以操作 $i$ 值滑桿 觀察第 $i$ 片薄片。
2. 操作 切片滑桿 可將第 $i$ 片薄片拖拉出來觀察，操作 $i$ 值滑桿 可切換不同薄片。

觀察這些薄片的形狀及體積，思考並回答下列問題：

1. 分析其與立體 $S$ 之間的關聯性，選出正確的敘述。（可複選）
   每一片薄片的上底面積與下底面積相同（截切處），因此其形狀為薄柱體 每一片薄片的厚度均為 $\Delta x$ ，故其體積皆相同 這 $n$ 個薄片構成立體 $S$ 這 $n$ 個薄片的體積總和恰為立體 $S$ 的體積

操作步驟：

1. 按一下 按鈕(6/10)，在第 $i$ 個區間 $[x_{i-1},x_i]$ $(i=1,2,\cdots,n)$ 中任取一點 $t_i$ 。
2. 按一下 按鈕(7/10)，過該點 $(t_i,0,0)$ 且垂直 $x$ 軸的平面與 $S$ 所截的面積藍色區域。

思考並回答下列問題：

1. 過點 $(t_i,0,0)$ 且垂直 $x$ 軸的平面與立體 $S$ 所截的面積應為何？
   $A(x_{i-1})$ $A(x_i)$ $A(t_i)$

操作步驟：

1. 按一下 按鈕(8/10)，以截面 $A(t_i)$ 為底面積、高為 $\Delta x$ 的柱體，為第 $i$ 片柱體。
2. 按一下 按鈕(9/10)，將柱體拖拉出來觀察，同學可以操作 切片滑桿 或 柱體滑桿 將薄片或柱體拉出來比較。
3. 按一下 按鈕(10/10)，讓3D繪圖區自動旋轉，從不同角度做觀察，同學也可以利用左下角的視角按鈕，或自由滑動/拖曳3D繪圖區來改變視角觀察。

思考並回答下列問題：

1. 比較第 $i$ 片「柱體」與第 $i$ 片「薄片」的體積，其大小關係，何者正確？
   「柱體」的體積比較大 「薄片」的體積比較大 兩者體積恰恰相等 不一定

思考並回答下列問題：

1. 第 $i$ 片「柱體」的體積可以如何表達？
   $(A(t_i))^2\Delta x$ $A(t_i)\Delta x$

思考並回答下列問題：

1. 全部 $n$ 片「柱體」的體積總和可以如何表達？
   $$ \sum_{i=1}^{n} (A(t_i))^2\Delta x $$ $$ \sum_{i=1}^{n} A(t_i)\Delta x $$

操作步驟：

1. 按一下 按鈕(9/10)停止旋轉，點按 10 ▼ 來更改切片數量n的值，利用 滑桿及視角來觀察不同切割數下，薄片與柱體間的關係。

思考並回答下列問題：

1. 直觀來說，當薄片切的愈薄（ $n$ 愈大）時，第 $i$ 片「柱體」與「薄片」的體積有何關聯？
   差距愈來愈大 差距愈來愈小

思考並回答下列問題：

1. 直觀來說，當薄片切的愈薄（ $n$ 愈大）時，所有 $n$ 片「柱體」的體積總和會有何變化？
   愈來愈遠離「薄片」的體積總和 愈來愈接近「薄片」的體積總和

思考並回答下列問題：

1. 綜上結論，若將薄片切的無限薄時（也就是 $n$ 的值趨近於無限大時），柱體的體積總和 $$ \sum_{i=1}^{n} A(t_i)\Delta x $$ 幾乎就是薄片的體積總和（即立體 $S$ 的體積），因此 $S$ 的體積可以如何表達？
   $$\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} A(t_i)\Delta x$$ $$\lim_{n\to 0} \sum_{i=1}^{n} A(t_i)\Delta x$$

思考並回答下列問題：

1. 根據定積分的定義，因為 $A(x)$ 為連續函數，所以空間中位於兩平行平面 $x=a$ 與 $x=b(a\lt b)$ 之間的立體 $S$ ，其體積 $$\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} A(t_i)\Delta x=$$ 可表達為？
   $$\int_{1}^{n} A(x)\,dx$$ $$\int_{a}^{b} A(x)\,dx$$

我們來嘗試用切片積分法，來求直圓錐的體積。

操作步驟：

1. 觀察給定的直圓錐
2. 按一下 按鈕(1/10)，將直圓錐體放在坐標空間中，使得頂點為原點O，且通過頂點的高放在 $x$ 直軸的正向上。
3. 按一下 按鈕(2/10)，這是一個底面半徑 $r=3$ 的圓，高為 $h=8$ 的直圓錐。

仔細觀察圓錐並回答下述問題：

1. 此直圓錐的底面與 $x$ 軸相交的交點坐標為？
   $(r,0,0)$ $(h,0,0)$

操作步驟：

1. 按一下 按鈕(3/10)，設通過點 $(x,0,0)$ 且垂直 $x$ 軸的平面與直圓椎所截出截面的面積為 $A(x)$ ，且 $A(x)$ 為連續函數，同學可以操作 $x$ 值滑桿 觀察截面的變化。

操作 $x$ 值滑桿 觀察截面的變化並回答下述問題：

1. 觀察實驗操作2中的紅色截面，其形狀應為？
   三角形 正方形 圓形

操作步驟：

1. 按一下 按鈕(4/10)，將區間 $[0,h]$ 平分成 $n$ 等分，分割點為 $0=x_0\lt x_1\lt x_2\lt\cdots\lt x_n=h$ ，假設相鄰兩分割點的距離為 $\Delta x$ 。
2. 按一下 按鈕(5/10)，分別過這些等分點作垂直 $x$ 軸的平面，這些垂直 $x$ 軸的平面會將直圓錐分割成 $n$ 個厚度均為 $\Delta x$ 的薄片，同學可以操作 $x$值滑桿 ，觀察如何切割。

操作 $x$ 值滑桿 觀察截面的變化並回答下述問題：

1. 這些截面的面積關係，下列何者正確？
   $A(x_0)\gt A(x_1) \gt A(x_2)\gt\cdots\gt A(x_{n-1})\gt A(x_n)$ $A(x_0)\lt A(x_1) \lt A(x_2)\lt\cdots\lt A(x_{n-1})\lt A(x_n)$

操作步驟：

1. 按一下 按鈕(6/10)，用 $A(x_1),A(x_2),A(x_3),\cdots\cdots,A(x_n)$ 等截面為底，作出 $n$ 個厚度均為 $\Delta x$ 的柱體，這 $n$ 個柱體的體積和稱為上體積和 $U_n$ 。
2. 按一下 按鈕(7/10)，將上體積和 $U_n$ 移出觀察。
3. 按一下 按鈕(8/10)，用 $A(x_1),A(x_2),A(x_3),\cdots\cdots,A(x_{n-1})$ 等截面為底，作出 $n$ 個厚度均為 $\Delta x$ 的柱體，這 $n$ 個柱體的體積和稱為下體積和 $L_n$ 。
4. 按一下 按鈕(9/10)，將下體積和 $L_n$ 移出觀察。

思考並回答下述問題：

1. 若直圓錐的體積為 $S$ ，則與實驗操作4中上體積和 $U_n$ 及下體積和 $L_n$ ，三者的大小關係為？
   $U_n\gt S\gt L_n$ $L_n\gt S\gt U_n$

思考並回答下述問題：

1. 下列何者為上體積和 $U_n$ ？
   $$U_n= \sum_{i=1}^{n} A(x_i)\Delta x $$ $$U_n= \sum_{i=0}^{n-1} A(x_i)\Delta x $$

操作步驟：

1. 按一下 按鈕(10/10)，可以讓3D繪圖區自動旋轉，從不同角度做觀察。
2. 利用 $n$ 值滑桿 改變切片的數量，觀察上體積和 $U_n$ 及下體積和 $L_n$ 的變化。

思考並回答下述問題：

1. 當切片數 $n$ 愈來愈大時，以下敘述哪些正確？（可複選）
   上體積和 $U_n$ 愈來愈大 上體積和 $U_n$ 愈來愈小 下體積和 $L_n$ 愈來愈大 下體積和 $L_n$ 愈來愈小 $U_n$ 與 $L_n$ 的差距愈來愈大 $U_n$ 與 $L_n$ 的差距愈來愈小

思考並回答下述問題：

1. 綜上結論，若將薄片切的無限薄時（也就是 $n$ 的值趨近於無限大時），上體積和 $U_n$ （或是下體積和 $L_n$ ）會非常接近直圓錐的體積，根據定積分的定義，可將位於兩平行平面 $x=0$ 與 $x=h$ 之間的直圓錐體 $$S=\lim_{n\to\infty} U_n=\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} A(x_i)\Delta x$$ 表示為？
   $$\int_{1}^{n} A(x) \,dx$$ $$\int_{0}^{h} A(x) \,dx$$

思考並回答下述問題：

1. 利用 $n$ 值滑桿 增加 $n$ 的值，下列哪一選項比較有機會是此直圓錐的體積？（底面半徑 $r=3$ ，高 $h=8$）
   $74.4$ $75.4$ $76.4$

利用立體的體積公式，我們來計算底面為邊長a的正方形、高為h的直四角錐體之體積。

操作步驟：

1. 按一下 按鈕(1/10)，將直四角錐體放在坐標空間中，使得頂點為原點 $O$ ，且通過頂點的高放在 $x$ 直軸的正向上。
2. 按一下 按鈕兩次(3/10)，這是一個底面為邊長 $a$ 的正方形、高為 $h$ 的直四角錐體。
3. 按一下 按鈕兩次(5/10)，作出通過點 $(x,0,0)$ 且垂直 $x$ 軸的平面，同學可利用 $x$ 直滑桿 改變點的位置。

觀察平面與直四角錐體所截出的截面，記錄其形狀及面積變化。

請嘗試藉由觀察記錄1回答下列問題：

1. 觀察紀錄1中，通過點 $(x,0,0)$ 且垂直 $x$ 軸的平面與直四角錐體所截出的藍色圖形為何？
   三角形 正方形 圓形

請嘗試藉由觀察記錄1回答下列問題：

1. 當 $x$ 值愈大時，其所截面積如何？
   愈大 愈小

操作步驟：

1. 按一下 按鈕兩次(7/10)，假設通過點 $(x,0,0)$ 且垂直 $x$ 軸的平面，與直四角錐所結的正方形邊長為 $s_x$ 。

從不同視角觀察圖形並滑動滑桿，找出 $s_x$、$x$、$a$、$h$四個數值或線段長的關係，並記錄下來。

觀察並回答下述問題：

1. 按一下 按鈕(8/10)將視角正對 $xy$ 平面，觀察 $\triangle OAB$ 與 $\triangle OPQ$ 的關係為何？
   相似 全等

觀察並回答下述問題：

1. 有關 $s_x$、$x$、$a$、$h$四個數值或線段長的關係，何者正確。
   $\dfrac{s_x}{a}=\dfrac{x}{h}$ $\dfrac{s_x}{h}=\dfrac{x}{a}$

操作步驟：

1. 按一下 按鈕(9/10)，若通過點 $(x,0,0)$ 且垂直 $x$ 軸的平面與直四角錐體所截出的正方形面積為 $A(x)$ 。

請嘗試藉由實驗操作3回答下列問題：

1. 正方形面積 $A(x)$ 可以是那些值?（可複選）
   $A(x)=s_x^2$ $A(x)=\dfrac{a^2}{h^2} x^2$ $A(x)=\pi\dfrac{a^2}{h^2} x^2$

請嘗試藉由實驗操作3回答下列問題：

1. 設立體 $S$ 位於兩平行平面 $x=a$ 與 $x=b(a\lt b)$ 之間。若通過點 $(x,0,0)$ 且垂直 $x$ 軸的平面與 $S$ 所截出截面（圖中的淡紅色區域）的面積為 $A(x)$ ，且 $A(x)$ 為連續函數，根據切片積分法可推得 $S$ 的體積公式為何？
   $$\int_{a}^{b} A(x) \,dx$$ $$\int_{a}^{b} A(x)x \,dx$$ $$\int_{a}^{b} \pi A(x)x \,dx$$

請嘗試藉由實驗操作3回答下列問題：

1. 利用切片積分法得到的立體體積公式，我們來計算直四角錐的體積：
   直四角錐可視為兩平行平面 $x=0$ 與 $x=h$ 之間，且通過點 $(x,0,0)$ 且垂直 $x$ 軸的平面與直四角錐所截出截面的面積為 $A(x)=\dfrac{a^2}{h^2} x^2$ ，則其體積為 $$\int_{0}^{h} A(x) \,dx=\int_{0}^{h} \dfrac{a^2}{h^2} x^2 \,dx=\cdots$$ 繼續完成此定積分，得出直四角錐體積為何？
   $\dfrac{1}{2} a^2h$ $\dfrac{1}{3} a^2h$ $\dfrac{1}{4} a^2h$