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虛擬學具
GGB Manipulatives
球、甜甜圈及直圓錐體是生活中常見的立體，這些立體都可以看成旋轉體。例如，球可以看成以半圓形區域繞其直徑所得的旋轉體。利用立體的體積公式可以求旋轉體的體積，說明如下。
操作步驟：
  1. 點按下方控制區左邊的 面$xy$平面 ，來觀察 $xy$ 平面。
  2. 曲線 $y=f(x)$ 是 $xy$ 平面上的非負連續函數，而黑色區域 $R$ 則是函數 $y=f(x)$ 與 $x$ 軸、鉛直線 $x=a$ 及 $x=b$ 所圍成的區域。
操作步驟：
  1. 試著拉動 $y=f(x)$ 上的控制點，可以改變區域 $R$ 的形狀，請調整出一個自己喜歡的樣子。
想像一下，若用厚紙板裁出一片如 $R$ 區域形狀的紙片，並將紙片如同實驗圖中黏在 $x$ 軸這根細鋼管上，想像一下若以 $x$ 軸為轉軸旋轉一圈，則紙片會在空間中掃出一個立體形狀，你能想像這個立體形狀的長相嗎？
操作步驟：
  1. 點按控制區左邊的 預設視角 按鈕，由立體視角來觀察。
  2. 拉動 繞$x$軸旋轉角度 ，模擬如問體探索1所述，讓區域 $R$ 繞 $x$ 軸旋轉特定角度，觀察其所掃過之立體形狀。
  3. 試著旋轉各種角度，並按著右鍵拖曳3D繪圖區的空白處(平板請用雙指拖曳)，從不同視角來觀察此立體形狀。
請操作 繞$x$軸旋轉角度回答下列問題：
  1. 以下是小明的區域 $R$ 繞 $x$ 軸分別旋轉 $90\degree$ 、 $180\degree$ 、 $270\degree$ 、 $360\degree$ 得到的立體形狀，請依旋轉角度由大到小選出正確對應順序。

    (A)

    (B)

    (C)

    (D)
操作步驟：
  1. 點按控制區右邊的 繞$x$軸旋轉角度 滑桿，讓區域 $R$ 繞 $x$ 軸旋轉一圈 $360\degree$ ，我們稱此立體形狀為 $y=f(x)$ 與 $x$ 軸、 $x=a$ 及 $x=b$ 所圍的區域 $R$ ，繞 $x$ 軸一圈的旋轉體。
操作步驟：
  1. 點按控制區右邊的 顯示/隱藏截平面 按鈕，此時會出現一個平面，此為通過 $x$ 軸上一點 $(x,0,0)$ 且垂直 $x$ 軸的平面。
  2. 利用控制區的 截平面位置 滑桿，來控制 $(x,0,0)$ 的位置，觀察平面與旋轉體相交的截面圖形。
  1. 你覺得前面的實驗操作中，平面與旋轉體截出的圖形是甚麼形狀？請試著解釋原因。
操作步驟：
  1. 利用控制區的 移出截面觀察 滑桿，可將截面圖形拉出來觀察，若當截平面通過點 $(x,0,0)$ 的位置，此時平面與旋轉體所交截面圖形的面積為 $A(x)$ 。
  1. 若當截平面通過點 $(x,0,0)$ 時，與旋轉體所截圖形是一個圓，則此圓的圓心坐標為何？
  2. 若當截平面通過點 $(x,0,0)$ 時，與曲線 $y=f(x)$ 有相交處有一截點，則此截點坐標為何？
  3. 綜上，平面與旋轉體所截之圓形半徑應為？
  4. 承上，若此時截面的面積為 $A(x)$ ，則其值為何？
  • 設立體 $S$ 位於兩平行平面 $x=a$ 與 $x=b$ $(a\lt b)$ 之間。
  • 若通過點 $(x,0,0)$ 且垂直 $x$ 軸的平面與 $S$ 所截出截面的面積為 $A(x)$ ，且 $A(x)$ 為連續函數，則 $S$ 的體積為 $$\int_{a}^{b} A(x) dx$$
    回到我們的旋轉體體積：

    設函數 $f(x)$ 是區間 $[a,b]$ 上的非負連續函數。將 $f(x)$ 的圖形與 $x$ 軸、 $x=a$ 及 $x=b$ 所圍成的區域 $R$ ，繞 $x$ 軸得一旋轉體。由於通過點 $(x,0,0)$ 且垂直 $x$ 軸的平面與旋轉體所截出截面的面積為 $A(x)$ ，且截面為圓形，故旋轉體體積 $\int_{a}^{b} A(x) dx$ 進一步可推導為？
  1. $\int_{a}^{b} A(x) dx=$？
平常我們吃甜筒冰淇淋的餅干，或是慶祝生日時壽星頭上帶的生日帽，都是一種直圓錐體的形狀。沒有想過直圓錐是不是一種旋轉體呢？可以用旋轉體積分的方式來求直圓錐的體積嗎？一起來探討看看吧。
操作步驟：
  1. 觀察給定的直圓錐，這是一個底面半徑為 $r$ 的圓，高為 $h$ 的直圓錐。可以拉動 $P$ 點或 $Q$ 點來改變它的高 $h$ 或底圓半徑 $r$ 。
  2. 點按下方控制區右邊的 安置空間坐標 按鈕，將直圓錐的頂點 $O$ 置於原點，直圓錐的高置於 $x$ 軸的正向上
  1. 從不同的角度觀察直圓錐，你覺得直圓錐是旋轉體嗎？將你的想法記錄下來。
觀察並回答下列問題：
  1. 將直圓錐安置於坐標上後，其底面與 $x$ 軸交於 $P$ 點，此時 $P$ 點的坐標為何？
  2. 若 $Q$ 點恰在 $xy$ 平面上，則 $Q$ 點的坐標為何？
操作步驟：
  1. 點按控制區左邊的 面$xy$平面 按鈕，再按右邊的 顯示/隱藏旋轉體 按鈕，拉動 曲線 $y=f(x)$ 上的控制點來塑造黑色區塊 $R$ 的形狀。
  2. 點按控制區右邊的 繞$x$軸自動旋轉 按鈕，讓區域 $R$ 繞 $x$ 軸掃出旋轉體。
  1. 你自製的旋轉體，其形狀是否接近原本的直圓錐呢？ 若想做出一個接近直圓錐的旋轉體，該如何調整 $y=f(x)$ 所圍的區域 $R$ 呢？ 試表達你的想法或做法。
操作步驟：
  1. 利用控制區中央的 截平面位置 及 移出截面觀察 滑桿，觀察垂直 $x$ 軸的平面，分別與直圓錐及旋轉體所交之截面形狀。
  2. 觀察截面，盡可能將旋轉體調整出接近直圓錐的形狀。
  3. 當調整出很接近直圓錐的旋轉體後，點按 繞$x$軸自動旋轉 按鈕，讓旋轉角度回歸 $0\degree$ ，點按 面$xy$平面 按鈕，觀察 $xy$ 平面上，此時區域 $R$ 的形狀。
請觀察並嘗試回答下列問題：
  1. 觀察垂直 $x$ 軸的平面，分別與直圓錐及旋轉體所交之截面，其形狀都是？
  2. 當旋轉體很近似直圓錐時， $y=f(x)$ 所圍的區域 $R$ 近似哪一種形狀？
  3. 承上，此時函數 $y=f(x)$ 的圖形近似於？
由前面的實驗觀察發現，當函數 $y=f(x)$ 的圖形為直線 $OQ$ 時， $y=f(x)$ 與 $x$ 軸、 $x=a$ 及 $x=b$ 所圍的區域 $R$ ，繞 $x$ 軸所得之旋轉體恰是一直圓錐，試探討下列問題：
  1. 函數 $y=f(x)$ 是否通過原點？
  2. 函數 $y=f(x)$ 的斜率為何？
  3. 函數 $y=f(x)$ 應為？
  4. 區域 $R$ 的左邊界鉛直線 $x=a$ 的 $a$ 應為
  5. 區域 $R$ 的右邊界鉛直線 $x=b$ 的 $b$ 應為
由活動所得旋轉體體積公式：

設函數 $f(x)$ 是區間 $[a,b]$ 上的非負連續函數。將 $f(x)$ 的圖形與 $x$ 軸、 $x=a$ 及 $x=b$ 所圍成的區域 $R$，繞 $x$軸所得的旋轉體體積為 $\int_{a}^{b} \pi(f(x))^2 dx$。

綜合前面的實驗觀察及探索，可知底面圓半徑為r，高為h的直圓錐體積為 $\int_{a}^{b} \pi(f(x))^2 dx = \int_{0}^{h} \pi(\dfrac{r}{h}x)^2 dx$
  1. 計算上列定積分後，可得直圓錐體積為