D-10-4 虛擬學具
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實驗操作1
這是一個以原點$C$為圓心，半徑為$r$的半圓內部。
操作步驟：
- 按左下角的「面$xy$平面」按鈕，觀察$xy$平面上的深色區域。
觀察記錄1
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拖曳$3D$繪圖區，從不同角度觀察，你能想像這個深色的半圓區域，繞$x$軸旋轉，在空間中掃過的立體形狀長相嗎？
請記錄下你的猜想
實驗操作2
操作步驟：
- 請拖曳「半圓區域繞$x$轉」右邊的角度滑桿，讓半圓區域繞著$x$軸旋轉不同角度，觀察所掃出的立體形狀。
觀察記錄2
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當半圓區域繞$x$軸旋轉半圈$180\degree$後，其所掃過的立體比較接近下列哪一種形狀？
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當半圓區域繞$x$軸旋轉半圈$360\degree$後，其所掃過的立體比較接近下列哪一種形狀？
問題探索1
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經由實驗操作$2$的觀察，你覺得球體算不算是旋轉體的一種？
實驗操作3
經過前面的觀察，半圓區域繞$x$軸旋轉一圈$360\degree$後，其所掃過的立體是一個球體。
操作步驟：
- 拖曳「垂直$x$軸之截平面」的右邊$x$值滑桿，產生過$x$軸上一點$Q(x,0,0)$且與$x$軸垂直的平面，觀察此平面與球體相交的紅色截面圖形。
觀察記錄3
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過$x$軸上一點$Q(x,0,0)$，且與$x$軸垂直的平面，與球體所截的紅色截面圖形為何？
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此紅色截面圖形的圓心座標為何？
實驗操作4
若截面與半圓圓周相交於$P$點，觀察三角形$PQC$的形狀及邊長。
操作步驟：
- 點擊「面$xy$平面」
- 拖曳「垂直$x$軸之截平面」的右邊$x$值滑桿，觀察截面從$x=-6$到$x=6$時，三角形$PQC$的形狀及邊長
觀察記錄4
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三角形$PQC$是哪一種三角形？
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三角形$PQC$的邊長$\overline{CP}$可表示為？
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三角形$PQC$的斜邊$\overline{CQ}$可表示為？
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綜上，三角形$PQC$的邊長$\overline{PQ}$可表示為？
問題探索2
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已知$\overline{PQ}=\sqrt{r^2-x^2}$，則 紅色圓形截面 的面積$A(x)$應如何表達？
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若想用以上公式來計算球體的體積，則公式中的$a$、$b$、$A(x)$應如何替換？
- $a=$
- $b=$
- $A(x)=$
- $a=$
-
計算定積分$\int^r_{-r} \pi (r^2-x^2)dx$，可得半徑為$r$的球體體積為何？
回顧一下切片積分法的立體體積公式：
設立體$S$位於兩平行平面$x=a$與$x=b(a \lt b)$之間。
若通過點$(x,0,0)$且垂直$x$軸的平面與$S$所截出截面的面積為$A(x)$，且$A(x)$為連續函數，則$S$的體積為$\int^b_a A(x)dx$