學會如何求旋轉體的體積後，我們來看生活中常見的球體，例如籃球、排球等，同學覺得這些球體可以歸類為旋轉體嗎？它是用什麼形狀繞轉x軸得到的呢？我們又該如何計算它的體積呢？

這是一個以原點$C$為圓心，半徑為$r$的半圓內部。

操作步驟：

1. 按左下角的 面$xy$平面 按鈕，觀察 $xy$ 平面上的深色區域。

1. 拖曳 $3D$ 繪圖區，從不同角度觀察，你能想像這個深色的半圓區域，繞 $x$ 軸旋轉，在空間中掃過的立體形狀長相嗎？
   請記錄下你的猜想
   

操作步驟：

1. 請拖曳 半圓區域繞 $x$ 轉 右邊的角度滑桿，讓半圓區域繞著 $x$ 軸旋轉不同角度，觀察所掃出的立體形狀。

1. 當半圓區域繞 $x$ 軸旋轉半圈 $180\degree$ 後，其所掃過的立體比較接近下列哪一種形狀？ 圓錐 圓柱 球體 半個球體
2. 當半圓區域繞 $x$ 軸旋轉半圈 $360\degree$ 後，其所掃過的立體比較接近下列哪一種形狀？ 圓錐 圓柱 球體 半個球體

1. 經由實驗操作 $2$ 的觀察，你覺得球體算不算是旋轉體的一種？ 是 否

經過前面的觀察，半圓區域繞 $x$ 軸旋轉一圈 $360\degree$ 後，其所掃過的立體是一個球體。

操作步驟：

1. 拖曳 垂直 $x$ 軸之截平面的右邊 $x$ 值滑桿，產生過 $x$ 軸上一點 $Q(x,0,0)$ 且與 $x$ 軸垂直的平面，觀察此平面與球體相交的紅色截面圖形。
2. 可利用 球體透明度 滑桿 調整透明度以利觀察

1. 過 $x$ 軸上一點 $Q(x,0,0)$，且與 $x$ 軸垂直的平面，與球體所截的紅色截面圖形為何？
   圓形 半圓形 扇形
2. 此紅色截面圖形的圓心座標為何？
   $C(0,0,0)$ $Q(x,0,0)$

若截面與半圓圓周相交於 $P$ 點，觀察三角形 $PQC$ 的形狀及邊長。

操作步驟：

1. 點擊 面$xy$平面
2. 拖曳 垂直 $x$ 軸之截平面的右邊 $x$ 值滑桿，觀察截面從 $x=-6$ 到 $x=6$ 時，三角形 $PQC$ 的形狀及邊長。

1. 三角形 $PQC$ 是哪一種三角形？
   直角三角形 等腰三角形
2. 三角形 $PQC$ 的斜邊 $\overline{CP}$ 可表示為？
   半圓的半徑 $r$ $Q$ 點 $x$ 坐標的絕對值
3. 三角形 $PQC$ 的邊長 $\overline{CQ}$ 可表示為？
   半圓的半徑 $r$ $Q$ 點 $x$ 坐標的絕對值
4. 綜上，三角形 $PQC$ 的邊長 $\overline{PQ}$ 可表示為？
   $\sqrt{r^2-x^2}$ $\sqrt{x^2-r^2}$

1. 已知 $\overline{PQ}=\sqrt{r^2-x^2}$，則紅色圓形截面的面積 $A(x)$ 應如何表達？ $A(x)= 2 \pi \overline{PQ} = 2 \pi \sqrt{r^2-x^2}$ $A(x)= \pi {\overline{PQ}}^2 = \pi (r^2-x^2)$
2. 回顧一下切片積分法的立體體積公式：
   設立體 $S$ 位於兩平行平面 $x=a$ 與 $x=b(a \lt b)$ 之間。
   若通過點 $(x,0,0)$ 且垂直 $x$ 軸的平面與$S$所截出截面的面積為 $A(x)$，且 $A(x)$ 為連續函數，則 $S$ 的體積為 $\int^b_a A(x)dx$，若想用以上公式來計算球體的體積，則公式中的$a$、$b$、$A(x)$應如何替換？
   1. $a=$ $-r$ $0$ $r$
   2. $b=$ $-r$ $0$ $r$
   3. $A(x)=$ $2\pi (r^2-x^2)$ $\pi (r^2-x^2)$ $\pi \sqrt{r^2-x^2}$
3. 計算定積分 $\int^r_{-r} \pi (r^2-x^2)dx$，可得半徑為 $r$ 的球體體積為何？ $\dfrac{2}{3} \pi r^3$ $\dfrac{4}{3} \pi r^3$ $4 \pi r^2$