D-10-4 虛擬學具
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實驗操作1
說明：
- $\overrightarrow{OA}$為始邊
- $\overrightarrow{OB}$為終邊
- 觀察廣義角的變化
操作步驟：
- 拖曳$B$點或是調整滑桿觀察角度的變化
- 點選「開始挑戰」並完成挑戰關卡
實驗操作2
操作步驟：
- 拖曳$B$點或是調整滑桿觀察角度的變化
- 點選「開始挑戰」並完成第二階段挑戰關卡
問題探索1
根據左圖回答下列問題
-
我們將$\;\overrightarrow{OA}\;$以$O$為中心旋轉至$\;\overrightarrow{OB}\;$所形成的角$\;\theta$，稱之為
。
其中$\;\overrightarrow{OA}\;$稱之為 ， $\;\overrightarrow{OB}\;$稱之為 。
-
當$\;\theta\;$為下列角度時，$\;\overrightarrow{OB}\;$與$\;\overrightarrow{OC}\;$重疊？
-
有兩個始邊相同的有向角$\;\alpha\;$與$\;\beta\;$，當兩角度相差
的整數倍時，
兩角的終邊便會重疊。此時我們稱角$\;\alpha\;$與角$\;\beta\;$為 。 - 在有向角中， 一般我們以逆時針為 ， 順時針為 。
實驗操作1
操作步驟：
- 透過滑桿選擇合適的底角角度與滑梯邊長
- 點選「建造滑梯」
- 點選「兩倍滑梯」
- 點選「比較不同滑梯」
- 調整「底角角度」與「底邊邊長」觀察三角比的變化
觀察記錄1
調整角度與底邊長完成紀錄吧
| 原本的三角形 | 兩倍大的三角形 | |||||
| 底角 角度 |
底邊長 | 對邊長 | $\dfrac{對邊長}{底邊長}$ | 底邊長 | 對邊長 | $\dfrac{對邊長}{底邊長}$ |
| $30\degree$ | $4$ |
|
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$8$ |
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| $37\degree$ | $4$ |
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$8$ |
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| $45\degree$ | $4.5$ |
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$9$ |
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問題探索1
-
當我們調整「底邊長度」時，「$\dfrac{對邊}{底邊}$」的數值是否改變？
-
當我們調整「底角角度」時，「$\dfrac{對邊}{底邊}$」的數值是否改變？
-
我們可不可以說：
只要給定了直角三角形的「底角角度」，就可以知道三角形「$\dfrac{對邊}{底邊}$」的數值大小為什麼？留下你的想法
實驗操作1
說明：
- 拖動「點$B$」可以改變三角形大小
- 拖動「點$A$」可以固定底角改變三角形大小
- 調整滑桿數值可以改變三角形底角大小
操作步驟：
- 拖動橘色的頂點$B$觀察三角比的變化
- 拖動藍色的頂點$A$觀察三角比的變化
觀察記錄1
我們剛發現固定底角時，邊長之間的比值也是固定的
調整角度或是點$B$完成下列表格(四捨五入到小數以下第2位)
| 底角角度 | $30\degree$ | $45\degree$ | $75\degree$ |
| $\sin$ |
|
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| $\cos$ |
|
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|
| $\tan$ |
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問題探索1
-
觀察三角比的變化後，這三種常見的三角比分別代表哪兩個邊長的比值？
(a) $\sin{\theta}=$$/$(b) $\cos{\theta}=$$/$(c) $\tan{\theta}=$$/$
-
依照這個定義，請問當$\theta$介於$0\degree$到$90\degree$時，$\;\sin{\theta}\;$會不會總是小於$1$？為什麼？留下你的想法
實驗操作1
說明：
- 改變$P$點可以觀察不同的三角形
- 調整滑桿可以改變三角形的底角角度
操作步驟：
- 拉動$P$點，觀察不同三角形的邊長與$P$點坐標
- 觀察不同三角形的三角比
觀察記錄1
拖動紫色滑桿調整底角
在表格上記錄下$P$點的坐標及其三角比
| 角度$\theta$ | $x$坐標 | $y$坐標 | $\cos{\theta}$ | $\sin{\theta}$ |
| $30\degree$ |
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| $45\degree$ |
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|
| $60\degree$ |
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問題探索1
-
當$r=1$時，
「$\cos{\theta}$」與「$P$點的$x$坐標」是否相等？
「$\sin{\theta}$」與「$P$點的$y$坐標」是否相等？
-
猜猜看，$\cos{90\degree}$的值應該要是多少？$\cos{90\degree}=$
-
猜猜看，$P$在單位圓上時，$\theta>90\degree$時，
「$\cos{\theta}$」與「$P$點的$x$坐標」是否也會相等呢呢？
實驗操作2
說明：
- 改變$P$點可以觀察不同的三角形
- 調整滑桿可以改變$\theta 2$的角度
操作步驟：
- 拉動$P$點，觀察不同$P$點形成的三角形邊長與$P$點坐標
- 觀察不同角度$\theta 2$的三角比
觀察記錄2
我們同樣利用$R$、$x$坐標、$y$坐標之間的比值，
定義廣義角的三角比。
定義廣義角的三角比。
同樣我們試著在表格上記錄下$P$點的坐標及其三角比
| 角度$\theta$ | $x$坐標 | $y$坐標 | $\cos{\theta}$ | $\sin{\theta}$ |
| $120\degree$ |
|
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| $225\degree$ |
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| $-30\degree$ |
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問題探索2
試著回答下列角度的三角比
特殊角直角三角形的邊長比也許可以幫上忙喔
也可以在左邊操作看看尋找答案喔
也可以在左邊操作看看尋找答案喔
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$\cos{60\degree}$=
-
$\sin{120\degree}$=
-
$\sin{225\degree}$=
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$\cos{-60\degree}$=
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$\cos{60\degree}$=
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拖動看看$P'$點，並觀察三角比的變化，
如果$P'$點不在單位圓上，你覺得三角比的值會有所更改嗎？