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G-11B-3_1 虛擬學具
GGB Manipulatives
operation
實驗操作1
說明：
畫家想將看到的景物呈現在畫布上，為了讓畫作具有真實感，離畫布較近的景物應該要畫得比較大，較遠的則要畫得比較小。我們將透過一系列的實驗操作，學習如何在畫作中呈現景物正確的位置及大小。
如$3D$繪圖區所示，假設$O$點代表畫家眼睛的位置，想像畫布是一片些微透明的矩形平面，畫布後方有一塊綠色三角形木板$ABC$，我們想將其繪在畫布上。
操作步驟：
  1. 步驟一：拉動 [移動N點] 滑桿，可讓三角形上的一點N在邊長上滑動。
  2. 步驟二：將[視線]滑桿往右拉到底，可模擬畫家的視線直視N點。
  3. 步驟三：點按 [預設視角]、[正對畫布]、[側面視角]、[俯瞰視角] 按鈕，從特定視角觀察。
  4. 步驟三：拖曳$3D$繪圖區空白處，可自由改變觀察視角。（電腦用滑鼠右鍵，觸控用雙指）
observation
觀察記錄1
  1. 當拉動 [視線] 滑桿時，模擬畫家的眼睛$O$直視$N$點時，下哪一線段可當作畫家的「視線」？
  2. 當 [視線] 滑桿往右拉至最底時，畫家的「視線」穿過畫布，與畫布的交點為何？
  3. 若想將木板$\triangle ABC$繪製在畫布上，則其邊上的「$N$點」應該對應在畫布上的何處較為合適？
operation
實驗操作2
說明：
從前面實驗及觀察記錄可知，當畫家直視$N$點時，其視線與畫布所交的$P$點，即為$N$點對應在畫布上的位置。這樣的繪畫原理我們稱為 「透視法」 ，利用此原理我們來將三角形木板$ABC$繪製在畫布上。
操作步驟：
  1. 步驟一：勾選 [啟用畫筆進行繪圖] 核取方塊，在$P$點裝上畫筆。
  2. 步驟二：拉動 [移動N點] 滑桿，模擬畫家視線掃視$\triangle ABC$的周長。
  3. 步驟三：將 [移動N點] 滑桿往右拉至最底，將三角形木板$ABC$完整繪製在畫布上。
observation
觀察記錄2
從不同視角觀察畫筆（P點）在畫布上勾勒出來的圖形。
  1. 三角形木板的頂點$A$、$B$、$C$依序對應到畫布上的哪些點？
  2. 一般而言，三角形木板的邊$\overline{AB},\overline{BC},\overline{CA}$̅等線段，繪製在畫布上後是否仍是線段？
  3. 一般而言，將三角形木板$ABC$繪製在畫布上後，其形狀也是三角形嗎？
    4. 勾選 [調整$\triangle ABC$形狀及位置] 核取方塊，可移動$A$、$B$、$C$點來調整三角形木板的大小形狀及位置，請隨意實驗並觀察畫布上圖形的變化。 （反覆點選頂點可切換水平或鉛直移動）
  4. 一般而言，實際景物$\triangle ABC$與繪製在畫布上的$\triangle DEF$，其形狀是否彼此相似？
operation
實驗操作1
說明：
認識「透視法」原理後，我們來試著繪製現實生活中的立體形狀，例如畫家想將一長方體$ABCD-EFGH$呈現在畫布上，該如何做呢？
為了簡化這個問題，我們先將畫家的眼睛設為一個點$O$，畫布是與地面垂直的平面，且長方體的面$ABCD$與畫布面平行。
操作步驟：
  1. 步驟一：將 [視線] 滑桿右拉到底，模擬畫家的視線直視長方體的頂點$A$。
  2. 步驟二：點按 [下一頂點] 按鈕，切換觀察其他頂點。
  3. 步驟三：持續點按 [下一頂點] 按鈕，將$8$個頂點對應的點標記在畫布上，並連接相應的邊線。
  4. 步驟四：從特定視角或任意視角進行觀察。
  5. 步驟五：利用 [下一頂點] 、 [上一頂點] 按鈕反覆觀察繪製過程
observation
觀察記錄1
  1. 當畫家眼睛$O$直視頂點$A$時，其視線與畫布的交點為何？
  2. 由此可知，長方體的頂點$A$應對應到畫布上的那一點？
  3. 長方體的頂點$B$、$C$、$D$應分別對應到畫布上的那些點？
  4. 長方體的頂點$E$、$F$、$G$、$H$又分別對應到畫布上的那些點？
  5. 觀察長方體的面$ABFE$為一矩形，其對應至畫布上的四邊形是否仍為矩形？
  6. 長方體的兩個面$ABCD$與$EFGH$原為全等的兩矩形，比較它們對應到畫布上的面積大小
  7. 以上是否符合「離畫家較近的景物應該要畫得比較大，較遠的景物比較小」的直觀經驗？
operation
實驗操作2
說明：
在上一段觀察紀錄中可發現，離畫家愈遠的景物在畫布上則愈小，令我們不禁好奇，無窮遠處的景物會出現在畫布上的何處呢？
我們試著將長方體的$4$個邊$\overline{AE},\overline{BF},\overline{CG},\overline{DH}$，往遠離畫布的無窮遠處延伸，觀察其對應在畫布上的情況。
操作步驟：
  1. 步驟一：用 [下一頂點] 按鈕將8個頂點及長方體完整繪製在畫布上。
  2. 步驟二：將 [延伸至無窮遠] 滑桿往右拉，將$4$個邊往無窮遠處延伸。
  3. 步驟三：在延伸邊線時的同時，從 [正對畫布] 視角或其他視角觀察。
  4. 步驟四：勾選 [調整長方體位置或形狀] 核取方塊，可用$B$、$D$、$E$點改變長寬高，$A$點可改變長方體位置。（反覆點選$A$點可切換移動方向）
observation
觀察記錄2
  1. 當$4$個邊遠離畫布往無窮遠處延伸時，其對應在畫布上的邊有何關係？
  2. 承上題，當長方體的位置或形狀改變時，交會點$VP$是否會改變位置？
    3. 由以上實驗可知，將垂直且遠離畫布的直線延伸至無窮遠處時，最終會在畫布上交於同一點$VP$，這個點我們稱為 「消失點」（Vanishing Point） 。利用這種原理繪製景物，由於畫面呈現上具有單一個消失點，因此稱這種繪法為 「單點透視法」 。
    消失點具體在畫布上的何處呢？我們勾選 [顯示垂直畫布的視線] 核取方塊，$3D$繪圖區出現一條由畫家眼睛$O$垂直望向畫布的視線(射線)，變換視角觀察該視線與消失點$VP$的關係。
  3. 從眼睛$O$垂直望向畫布的視線，是否通過畫布上的消失點$VP$？
  4. 我們可以如何找尋「單點透視法」的消失點呢？
operation
實驗操作1
說明：
畫家站在一段廢棄的鐵道上，想用 「單點透視法」 在畫布上繪製鐵道景物，會呈現出怎樣的畫面呢？
為方便後續討論，我們將設$O$點為畫家的眼睛，畫布平面與地面垂直。地面上的枕木與畫布平行且等長，由近至遠依序為$1$號、$2$號、……、$6$號枕木。左右兩條鐵軌為垂直畫布的直線，向無窮遠處延伸。
操作步驟：
  1. 步驟一：透過勾選 [$1$~$6$號枕木] 或 [左、右鐵軌] 等核取方塊，選擇要觀察的物件。
  2. 步驟二：拉動 [注視點A] 滑桿，可調整注視點$A$在物件上的位置。
  3. 步驟三：將 [視線] 滑桿右拉至底，顯示眼睛視線穿過畫布直視$A$點。
  4. 步驟四：點按 [預設視角]、[正對畫布]、[側面視角]、[俯瞰視角] 按鈕，可從特定視角觀察。
  5. 步驟五：拖曳3D繪圖區空白處，可自由改變觀察視角。（電腦用滑鼠右鍵，觸控用雙指）
operation
實驗操作2
說明：
當 [視線] 滑桿右拉至底時，視線$\overline{OA}$與畫布交於點$PEN$。由 「單點透視法」 可知，此時$A$點應畫在畫布上的對應點$PEN$處，我們依此來將鐵軌與枕木繪製在畫布上。
操作步驟：
  1. 步驟一：勾選 [留下畫筆軌跡] 核取方塊，在$PEN$點安裝上畫筆。
  2. 步驟二：用 [1~6號枕木] 或 [左、右鐵軌] 等核取方塊，選擇要畫的目標。
  3. 步驟三：來回拉動 [注視點$A$] 滑桿，讓畫筆在畫布上掃過，留下畫跡。
  4. 步驟四：重複第2、3步驟，將所有枕木及鐵軌繪製在畫布上。
observation
觀察記錄1
  1. 將整段鐵道畫好後，用 [正對畫布] 視角觀看畫布，你會看到下列何圖？
  2. 距離畫布愈遠的枕木，其對應在畫布上的位置如何？
  3. 距離畫布愈遠的枕木，其對應在畫布上的長度如何？
operation
實驗操作3
說明：
我們已經知道 「單點透視法」 具有 「消失點」 ，讓我們一起來找尋此畫作「鐵道圖」的消失點位置。
操作步驟：
  1. 步驟一：將 [延伸鐵軌] 滑桿向右拉動，讓兩條鐵軌遠離畫布延伸至無窮遠。
  2. 步驟二：勾選 [垂直畫布的視線] 核取方塊，顯示眼睛垂直畫布望向無窮遠的視線。
observation
觀察記錄2
  1. 兩條鐵軌遠離畫布延伸至無窮遠後，其對應在畫布上的圖形關係為何？
  2. 眼睛垂直畫布望向無窮遠時，其視線與畫布交於何處？
  3. 畫布上的點$VP$是否為單點透視法的消失點？
operation
實驗操作1
說明：
由前面的實驗活動可知，以單點透視法繪製鐵道時，距離畫布較遠的枕木，在畫布上的位置較高；反之，較近的枕木位置則較低。為了讓畫作更加逼近真實，我們來計算枕木在畫布上的位置高度。
操作步驟：
  1. 步驟一：勾選 [$3$號枕木] 核取方塊，$M$為所選枕木的中點。
  2. 步驟二：將 [視線] 滑桿右拉至底，眼睛$O$的視線穿過畫布直視$M$點時，與畫布的交點為$B$。
  3. 步驟三：勾選 [顯示輔助線] 核取方塊，顯示$B$、$O$在地面上的投影點分別為$C$、$D$。
  4. 步驟四：點選 [側面視角] 按鈕，由畫布的側面觀察。
  5. 步驟五：勾選 [顯示數據] 核取方塊，以顯示相關線段長度。
observation
觀察記錄1
從側面視角測量得知：畫家眼睛離地$\overline{OD}=150$公分，與畫布的距離$\overline{DC}=120$公分；而 「$3$號枕木」 與畫布的距離$\overline{MC}=180$公分，其對應在畫布上的位置離地面$\overline{BC}=90$公分。
  1. 計算線段比$\dfrac{\overline{BC}}{\overline{OD}}$及線段比$\dfrac{\overline{MC}}{\overline{MD}}$，兩比值是否相等？試解釋其原因。
  2. 已知兩相鄰枕木的間距都是$50$公分，請切換到 「$2$號枕木」 ，並推算其對應在畫布上的位置至地面的距離$\overline{BC}=$？
  3. 同上，推算 「$1$號枕木」 對應在畫布上的位置至地面的距離$\overline{BC}=$？
investigation
問題探索1
  1. 由前面的觀察記錄得知，$1$、$2$、$3$號枕木繪製在畫布上的離地高度分別為$60$、$78$、$90$公分。
    1. $1$號與$2$號枕木在畫布上的彼此間距為
    2. $2$號與$3$號枕木在畫布上的彼此間距為
    3. 在畫布上，$1$號、$2$號枕木的間距比起$2$號、$3$號的間距，何者較大？
  2. 結合理論數據與 [正對畫布] 視角對畫布的觀察，可做出以下哪些推論：(可複選)
operation
實驗操作1
說明：
瞭解枕木在畫布上的位置後，那麼枕木的長度又該畫多長呢？
雖然枕木的實際長度都一樣，但在畫布上呈現的長度似乎各不相同，讓我們來幫助畫家準確地繪製枕木的長度吧！
操作步驟：
  1. 步驟一：勾選 [$3$號枕木] 核取方塊觀察$3$號枕木，$E$、$F$代表該枕木的兩端點。
  2. 步驟二：將 [視線] 滑桿右拉至底，分別直視$E$、$F$兩點時，與畫布交點為$G$、$H$。
  3. 步驟三：勾選 [顯示輔助線] 核取方塊，顯示輔助的點與與線段。
  4. 步驟四：勾選 [顯示數據] 核取方塊，顯示相關線段長度。
observation
觀察記錄1
點按 [俯瞰視角] 按鈕，從空中垂直俯視地面觀察。經測量得知：枕木的實際長度都是$\overline{EF}=250$公分，眼睛與畫布的距離$\overline{DC}=120$公分，而 「3號枕木」 與畫布的距離$\overline{MC}=180$公分。
  1. 實際的枕木$\overline{EF}$，與對應在畫布上的枕木$\overline{GH}$，兩線段有何關係？
  2. 由上可知三角形$\triangle OGH$與$\triangle OEF$的關係為？
  3. 試推算 「$3$號枕木」 在畫布上的長度$\overline{GH}=$？
  4. 已知相鄰兩枕木的間距固定是$50$公分，請切換到 「$2$號枕木」 ，並推算其在畫布上的長度$\overline{GH}=$？
  5. 同上，請推算 「$1$號枕木」 在畫布上的長度$\overline{GH}=$？
  6. 以上數據是否支持畫作中「距離畫布較近的枕木長度較長，較遠的枕木長度較短」的視覺經驗？
學習單內容