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虛擬學具
GGB Manipulatives
  • 畫家想將看到的景物呈現在畫布上，為了讓畫作具有真實感，離畫布較近的景物應該要畫得比較大，較遠的則要畫得比較小。
  • 我們將透過一系列的實驗操作，學習如何在畫作中呈現景物正確的位置及大小。
  • 如 $3D$ 繪圖區所示，假設 $O$ 點代表畫家眼睛的位置，想像畫布是一片些微透明的矩形平面，畫布後方有一塊綠色三角形木板 $ABC$，我們想將其繪在畫布上。
操作步驟：
  1. 拉動 移動N點 滑桿，可讓三角形上的一點 $N$ 在邊長上滑動。
  2. 將 視線 滑桿往右拉到底，可模擬畫家的視線直視 $N$ 點。
  3. 點按 預設視角、正對畫布、側面視角、俯瞰視角 按鈕，從特定視角觀察。
  4. 拖曳 $3D$繪圖區空白處，可自由改變觀察視角。（電腦用滑鼠右鍵，觸控用雙指）
  1. 當拉動 視線 滑桿時，模擬畫家的眼睛 $O$ 直視 $N$ 點時，哪一線段可當作畫家的「視線」？
  2. 當 視線 滑桿往右拉至最底時，畫家的「視線」穿過畫布，與畫布的交點為何？
  3. 若想將木板 $\triangle ABC$ 繪製在畫布上，則其邊上的「$N$ 點」應該對應在畫布上的何處較為合適？
  • 從前面實驗及觀察記錄可知，當畫家直視 $N$ 點時，其視線與畫布所交的 $P$ 點，即為 $N$ 點對應在畫布上的位置。這樣的繪畫原理我們稱為 「透視法」 ，利用此原理我們來將三角形木板 $ABC$ 繪製在畫布上。
操作步驟：
  1. 勾選 啟用畫筆進行繪圖 ，在 $P$ 點裝上畫筆。
  2. 拉動 移動N點 滑桿，模擬畫家視線掃視 $\triangle ABC$ 的周長。
  3. 將 移動N點 滑桿往右拉至最底，將三角形木板 $ABC$ 完整繪製在畫布上。
從不同視角觀察畫筆（$P$ 點）在畫布上勾勒出來的圖形。
  1. 三角形木板的頂點 $A$、$B$、$C$ 依序對應到畫布上的哪些點？
  2. 一般而言，三角形木板的邊 $\overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CA}$ 等線段， 製在畫布上後是否仍是線段？
  3. 一般而言，將三角形木板 $ABC$ 繪製在畫布上後，其形狀也是三角形嗎？
    4. 勾選 調整$\triangle ABC$形狀及位置 ，可移動 $A$、$B$、$C$ 點來調整三角形木板的大小形狀及位置，請隨意實驗並觀察畫布上圖形的變化。（反覆點選頂點可切換水平或鉛直移動）
  4. 一般而言，實際景物 $\triangle ABC$ 與繪製在畫布上的 $\triangle DEF$，其形狀是否彼此相似？
  • 認識「透視法」原理後，我們來試著繪製現實生活中的立體形狀，例如畫家想將一長方體 $ABCD-EFGH$ 呈現在畫布上，該如何做呢？
    為了簡化這個問題，我們先將畫家的眼睛設為一個點 $O$，畫布是與地面垂直的平面，且長方體的面 $ABCD$ 與畫布面平行。
操作步驟：
  1. 將 視線 滑桿右拉到底，模擬畫家的視線直視長方體的頂點 $A$。
  2. 點按 下一頂點，切換觀察其他頂點。
  3. 持續點按 下一頂點，將 $8$ 個頂點對應的點標記在畫布上，並連接相應的邊線。
  4. 從特定視角或任意視角進行觀察。
  5. 利用 下一頂點、 上一頂點 反覆觀察繪製過程。
  1. 當畫家眼睛 $O$ 直視頂點 $A$ 時，其視線與畫布的交點為何？
  2. 由此可知，長方體的頂點 $A$ 應對應到畫布上的那一點？
  3. 長方體的頂點 $B$、$C$、$D$ 應分別對應到畫布上的那些點？
  4. 長方體的頂點 $E$、$F$、$G$、$H$ 又分別對應到畫布上的那些點？
  5. 觀察長方體的面 $ABFE$ 為一矩形，其對應至畫布上的四邊形是否仍為矩形？
  6. 長方體的兩個面 $ABCD$ 與 $EFGH$ 原為全等的兩矩形，比較它們對應到畫布上的面積大小：
  7. 以上是否符合「離畫家較近的景物應該要畫得比較大，較遠的景物比較小」的直觀經驗？
  • 在上一段觀察紀錄中可發現，離畫家愈遠的景物在畫布上則愈小，令我們不禁好奇，無窮遠處的景物會出現在畫布上的何處呢？
    我們試著將長方體的 $4$ 個邊 $\overline{AE},\overline{BF},\overline{CG},\overline{DH}$，往遠離畫布的無窮遠處延伸，觀察其對應在畫布上的情況。
操作步驟：
  1. 用 下一頂點 將 $8$ 個頂點及長方體完整繪製在畫布上。
  2. 將 延伸至無窮遠 滑桿往右拉，將 $4$ 個邊往無窮遠處延伸。
  3. 在延伸邊線時的同時，從 正對畫布 視角或其他視角觀察。
  4. 勾選 調整長方體位置或形狀，可用 $B$、$D$、$E$ 點改變長寬高，$A$ 點可改變長方體位置。（反覆點選 $A$ 點可切換移動方向）
  1. 當 $4$ 個邊遠離畫布往無窮遠處延伸時，其對應在畫布上的邊有何關係？
  2. 承上題，當長方體的位置或形狀改變時，交會點 $VP$ 是否會改變位置？
    3. 由以上實驗可知，將垂直且遠離畫布的直線延伸至無窮遠處時，最終會在畫布上交於同一點 $VP$，這個點我們稱為 「消失點」（Vanishing Point）。利用這種原理繪製景物，由於畫面呈現上具有單一個消失點，因此稱這種繪法為 「單點透視法」。
    消失點具體在畫布上的何處呢？我們勾選 顯示垂直畫布的視線 ，$3D$ 繪圖區出現一條由畫家眼睛 $O$ 垂直望向畫布的視線（射線），變換視角觀察該視線與消失點 $VP$ 的關係。
  3. 從眼睛 $O$ 垂直望向畫布的視線，是否通過畫布上的消失點 $VP$？
  4. 我們可以如何找尋「單點透視法」的消失點呢？
  • 畫家站在一段廢棄的鐵道上，想用 「單點透視法」 在畫布上繪製鐵道景物，會呈現出怎樣的畫面呢？
    為方便後續討論，我們將設 $O$ 點為畫家的眼睛，畫布平面與地面垂直。地面上的枕木與畫布平行且等長，由近至遠依序為 $1$ 號、$2$ 號、$\cdots$、$6$ 號枕木。左右兩條鐵軌為垂直畫布的直線，向無窮遠處延伸。
操作步驟：
  1. 透過勾選 $1$~$6$ 號枕木 或 左、右側鐵軌 等核取方塊，選擇要觀察的物件。
  2. 拉動 注視點A 滑桿，可調整注視點 $A$ 在物件上的位置。
  3. 將 視線 滑桿右拉至底，顯示眼睛視線穿過畫布直視 $A$ 點。
  4. 點按 預設視角、正對畫布、側面視角、俯瞰視角，可從特定視角觀察。
  5. 拖曳 $3D$ 繪圖區空白處，可自由改變觀察視角。（電腦用滑鼠右鍵，觸控用雙指）
  • 當 視線 滑桿右拉至底時，視線 $\overline{OA}$ 與畫布交於點 $PEN$。由 「單點透視法」 可知，此時 $A$ 點應畫在畫布上的對應點 $PEN$ 處，我們依此來將鐵軌與枕木繪製在畫布上。
操作步驟：
  1. 勾選 留下畫筆軌跡 核取方塊，在$PEN$點安裝上畫筆。
  2. 用 $1$~$6$ 號枕木 或 左、右側鐵軌 等核取方塊，選擇要畫的目標。
  3. 來回拉動 注視點 $A$ 滑桿，讓畫筆在畫布上掃過，留下畫跡。
  4. 重複第2、3步驟，將所有枕木及鐵軌繪製在畫布上。
  1. 將整段鐵道畫好後，用 正對畫布 視角觀看畫布，你會看到下列何圖？
  2. 距離畫布愈遠的枕木，其對應在畫布上的位置如何？
  3. 距離畫布愈遠的枕木，其對應在畫布上的長度如何？
  • 我們已經知道 「單點透視法」 具有 「消失點」 ，讓我們一起來找尋此畫作「鐵道圖」的消失點位置。
操作步驟：
  1. 將 延伸鐵軌 滑桿向右拉動，讓兩條鐵軌遠離畫布延伸至無窮遠。
  2. 勾選 垂直畫布的視線 核取方塊，顯示眼睛垂直畫布望向無窮遠的視線。
  1. 兩條鐵軌遠離畫布延伸至無窮遠後，其對應在畫布上的圖形關係為何？
  2. 眼睛垂直畫布望向無窮遠時，其視線與畫布交於何處？
  3. 畫布上的點 $VP$ 是否為單點透視法的消失點？
  • 由前面的實驗活動可知，以單點透視法繪製鐵道時，距離畫布較遠的枕木，在畫布上的位置較高；反之，較近的枕木位置則較低。為了讓畫作更加逼近真實，我們來計算枕木在畫布上的位置高度。
操作步驟：
  1. 勾選 $3$ 號枕木 ，$M$ 為所選枕木的中點。
  2. 將 視線 滑桿右拉至底，眼睛 $O$ 的視線穿過畫布直視 $M$ 點時，與畫布的交點為 $B$。
  3. 勾選 顯示輔助線 ，顯示 $B$、$O$ 在地面上的投影點分別為 $C$、$D$。
  4. 點選 側面視角，由畫布的側面觀察。
  5. 勾選 顯示數據 ，以顯示相關線段長度。
從側面視角測量得知：畫家眼睛離地 $\overline{OD}=150$ 公分，與畫布的距離 $\overline{DC}=120$ 公分；而 「$3$ 號枕木」 與畫布的距離 $\overline{MC}=180$ 公分，其對應在畫布上的位置離地面 $\overline{BC}=90$ 公分。
  1. 計算線段比 $\dfrac{\overline{BC}}{\overline{OD}}$ 及線段比 $\dfrac{\overline{MC}}{\overline{MD}}$，兩比值是否相等？試解釋其原因。
  2. 已知兩相鄰枕木的間距都是 $50$ 公分，請切換到 「$2$ 號枕木」 ，並推算其對應在畫布上的位置至地面的距離 $\overline{BC}=$？
  3. 同上，推算 「$1$ 號枕木」 對應在畫布上的位置至地面的距離 $\overline{BC}=$？
  1. 由前面的觀察記錄得知，$1$、$2$、$3$號枕木繪製在畫布上的離地高度分別為$60$、$78$、$90$公分。
    1. $1$ 號與 $2$ 號枕木在畫布上的彼此間距為
    2. $2$號與$3$號枕木在畫布上的彼此間距為
    3. 在畫布上，$1$號、$2$號枕木的間距比起$2$號、$3$號的間距，何者較大？
  2. 結合理論數據與 正對畫布 視角對畫布的觀察，可做出以下哪些推論：(可複選)
  • 瞭解枕木在畫布上的位置後，那麼枕木的長度又該畫多長呢？
    雖然枕木的實際長度都一樣，但在畫布上呈現的長度似乎各不相同，讓我們來幫助畫家準確地繪製枕木的長度吧！
操作步驟：
  1. 勾選 $3$ 號枕木 觀察 $3$ 號枕木，$E$、$F$ 代表該枕木的兩端點。
  2. 將 視線 滑桿右拉至底，分別直視 $E$、$F$ 兩點時，與畫布交點為 $G$、$H$。
  3. 勾選 顯示輔助線 ，顯示輔助的點與與線段。
  4. 勾選 顯示數據 ，顯示相關線段長度。
點按 俯瞰視角，從空中垂直俯視地面觀察。經測量得知：枕木的實際長度都是 $\overline{EF}=250$ 公分，眼睛與畫布的距離 $\overline{DC}=120$ 公分，而 「3號枕木」 與畫布的距離 $\overline{MC}=180$ 公分。
  1. 實際的枕木 $\overline{EF}$，與對應在畫布上的枕木 $\overline{GH}$，兩線段有何關係？
  2. 由上可知三角形 $\triangle OGH$ 與 $\triangle OEF$ 的關係為？
  3. 試推算 「$3$ 號枕木」 在畫布上的長度 $\overline{GH}=$？
  4. 已知相鄰兩枕木的間距固定是 $50$ 公分，請切換到 「$2$ 號枕木」 ，並推算其在畫布上的長度 $\overline{GH}=$？
  5. 同上，請推算 「$1$ 號枕木」 在畫布上的長度 $\overline{GH}=$？
  6. 以上數據是否支持畫作中「距離畫布較近的枕木長度較長，較遠的枕木長度較短」的視覺經驗？