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G-11B-3_2 虛擬學具
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實驗操作1

實驗目標:
從前面「認識黃金比例與黃金矩形」的學具活動可知,「黃金矩形」是長寬比恰為黃金比例的矩形,若以短邊為邊長裁切掉一正方形,則剩餘的矩形仍是黃金矩形。循此規律,我們可以繼續裁切掉正方形後,餘下的仍為黃金矩形,此動作可以不斷重複下去。

操作步驟:

  1. 如繪圖區所示,有一黃金矩形,點按 [白色三角形箭頭],以短邊為邊長裁切掉一正方形。
  2. 繼續點按 [白色三角形箭頭],從剩餘的矩形中再裁切掉一正方形,將此動作繼續重覆下去。
  3. 使用右下角 按鈕也可進行切割,點按 可返回上一步。
  4. 可利用右側的 [縮放滑桿] 以利觀察及操作。

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實驗操作2

實驗目標:
在實驗操作1中,由大到小裁切出許多正方形,我們可藉由這些正方形來描繪一條優美的曲線,一起來玩玩看吧。

操作步驟:

  1. 點按各個 [正方形],可顯現該正方形的 [內切四分之一圓]
  2. 配合 [縮放滑桿] 輔助,將所有正方形的圓弧都點出來。

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實驗操作3

實驗目標:
這些正方形的四分之一圓連接所形成的優美曲線,近似於所謂「黃金螺線」。據說古代建築師、藝術師,會在建築、雕塑、畫作中使用黃金比例、黃金矩形或相關螺線。
《蒙娜麗莎》是文藝復興時期畫家李奧納多·達文西所繪的肖像畫。被認為是文藝復興時期的傑作,也被視為世上最負盛名,且最常被寫、唱、模仿的藝術作品。據傳達文西將黃金矩形的相關線條運用在畫作中,你能窺見其中的奧秘嗎?

操作步驟:

  1. 點按 至完成第11步驟後,勾選左上角 [顯示圖片] 勾選框。
  2. 勾選 [蒙娜麗莎][海螺] 選擇圖片。
  3. 勾選 [顯示螺線] 可顯示或隱藏螺線。
  4. 勾選 [翻轉方向] 可切換螺線的旋轉方向。
  5. 先將繪圖區縮至最小,利用矩形對角線兩端的 [空心圓點] 擺放黃金矩形,配合 [縮放滑桿] 找出蒙娜麗莎或海螺形狀中秘密的黃金比例。

observation
問題探索1
在《蒙娜麗莎》畫作中,若將空心紅點對準 $L1$ 點,藍點對準 $L2$ 點時,畫作從五官臉部到手擺放的姿勢,似乎依循著優美的黃金分割及螺線。
  1. 除了上面所提的擺放位置,嘗試多不同的擺放方式,與同學一同探索並解釋《蒙娜麗莎》中的黃金比例奧秘,並將大家的發現記錄下來。
  2. 海螺的形狀是否蘊藏了黃金螺線的秘密呢?自然界中還有沒有其他動植物或現象也具有黃金比例呢?試著上網搜尋並記錄你的發現。
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實驗操作1

實驗目標:
數學中有一組很有名的數列如下:$$1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,...$$我們可以發現﹐從第三項開始﹐每一項都是前兩項的和﹐這就是著名的費波那契數列,簡稱「費氏數列」。你相信嗎?費氏數列中也蘊含了黃金比例 $\phi$。

操作步驟:

  1. 如繪圖區所示,兩個 $1\times1$ 的正方形併成一個 $2\times1$ 的矩形。
  2. 點按 [三角形箭頭],從 $2\times1$ 矩形的較長邊向左長出一個 $2\times2$ 的正方形,整體變成 $2\times3$ 的矩形。
  3. 點按 [三角形箭頭],從 $2\times3$ 矩形的較長邊向下長出一個 $3\times3$ 的正方形,整體變成 $5\times3$ 的矩形。
  4. 依此規律繼續點按 [三角形箭頭],將每個生成的正方形邊長 記錄 下來。
  5. 右側 [縮放滑桿] 可縮放繪圖區以便於觀察。

observation
觀察記錄1
  1. 將實驗操作1繪圖區中所有的正方形由小到大記錄它們的邊長。
    正方形 $S1$ 邊長:$1$
    正方形 $S2$ 邊長:$1$
    正方形 $S3$ 邊長:$2$
    正方形 $S4$ 邊長:$3$
    正方形 $S5$ 邊長:$5$
    正方形 $S6$ 邊長:$8$
    正方形 $S7$ 邊長:
    正方形 $S8$ 邊長:
    正方形 $S9$ 邊長:
    正方形 $S10$ 邊長:
    正方形 $S11$ 邊長:
  2. 上述所列之正方形的邊長是否就是「費氏數列」?
    答:
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實驗操作2

操作步驟:

  1. 點按各個 [正方形],可顯現該正方形的 [內切四分之一圓]
  2. 配合 [縮放滑桿],點按所有 [正方形],觀察這些正方形的圓弧所連接而成的曲線。

observation
觀察記錄2
上面曲線是不是很類似先前介紹的「黃金螺線」呢?這表示實驗操作一中的過程,「費氏數列」所產生的一系列矩形可能跟黃金矩形有關。
  1. 我們列出這些矩形並計算其邊長比:(將小數部分四捨五入至小數點以下第3位)
    $2\times1$矩形長寬比:$\dfrac{2}{1}=2$
    $3\times2$ 矩形長寬比:$\dfrac{3}{2}=1.5$
    $5\times3$ 矩形長寬比:$\dfrac{5}{3}\approx1.666$
    $8\times5$ 矩形長寬比:$\dfrac{8}{5}=1.6$
    $13\times8$ 矩形長寬比:$\dfrac{13}{8}=1.625$
    $21\times13$ 矩形長寬比:$\dfrac{21}{13}\approx1.615$
    $34\times21$ 矩形長寬比:$\dfrac{34}{21}\approx$
    $55\times34$ 矩形長寬比:$\dfrac{55}{34}\approx$
    $89\times55$ 矩形長寬比:$\dfrac{89}{55}\approx$
  2. 由上列數據觀察,費氏數列所產出的一系列矩形與黃金矩形有甚麼關係?說說你的看法。
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